LibreOffice 4系において可能です。

[編集]メニュー
⇒型式を選択して貼り付け
　⇒書式設定されたテキスト[RTF]
で貼り付けができます。

同様な操作でも、LibreOffice 3.6系ではできません。

Excelの図の圧縮で行える「図のトリミング部分を削除する」機能は、4系で新しく追加された機能ですので、3.6系ではそういった機能がありません。

手間がかかりますが、他の画像ソフトで圧縮した後、そのファイルを読み込んでください。

LibreOfficeだけでやるとしたら、Impressで圧縮が可能です。
(1)Impressを起動
   スライドシートは何でもかまいません。

(2)「挿入」メニュー
    ⇒「画像」
      ⇒「ファイルから」
        で画像ファイルを読み込む。

(3)画像を選択した状態で、
  「ファイル」メニュー
    ⇒「エクスポート」
      ・ファイル書式（例えばJPEG）
      ・ファイル名は適宜
      ・ファイル名に拡張子を付けるにチェック
      ・選択範囲にチェック
      [保存]ボタンをクリックします。
     
      この時「選択範囲」にチェックしないと、
      スライドシートを含んだ画像になってしまいます。
      ポイントは、「画像選択した状態」で「選択範囲にチェック」です。

(4)JPGオプションで、例えば画像品質の数字を小さくして[OK]ボタンをクリックしてください。

(5)あとは、この画像をcalcで読み込んでください。

画像を貼り付けると、同じ画像でもWordよりWriterのほうが画像が粗いと感じる場合、以下の方法はどうでしょうか。

(方法1)
他の画像ソフトなどで予めリサイズしてから、Writerに取り込む。

(方法2)
書式メニュー
⇒画像
のプロパティの中で、元の画像サイズに戻してから手動でリサイズしてみる。

Excel（XLS）をODFに変換したときにハイパーリンクを設定した部分の背景がグレーになります。
ハイパーリンクのグレーになる事自体、書式に含まれる事ではないため、変更できません。
このグレーはハイパーリンクの文字列のみが背景になっていて、ハイパーリンクである事を表している物です。

セル自体の背景色は変更できますが、このグレーは書式ではないので、印刷やPDFエクスポートしても、グレーで印刷されることはありません。

見出し４に箇条書きの設定（文頭に「・」）を行っても、保存して再度開くと消えている状態になります。（見出し１～３までは残る）

下記の操作ででは保存されます。
書式メニュー
⇒箇条書きと番号付け
  ⇒オプション
    ⇒レベル：４
      前：・を入力

行/列の切り貼りをするときに、Excelでは、貼り付け行または列をを右クリック→「切り取ったセルの挿入」で行/列を挿入しながら貼り付けることができますが、Calcでは選択した行/列が上書きされます。

Excelのように操作したい場合、コピーに限って言えば、
例えば行をコピーした場合、
  右クリックメニュー
  ⇒型式を選択して貼り付け
  　⇒セルの移動
  　　⇒下に
で挿入動作になります。
上書きの場合は、移動しない、にしてください。

ただし、切り取りではこの操作はできません。

その場合、ドラッグ＆ドロップ操作になります。
切り取り＆挿入の場合
「選択範囲をAltキーを押しながらドラッグ」
コピー＆挿入の場合
「選択範囲を(Ctrl + Alt)キーを押しながらドラッグ」
してください。

各部分の色は下記で変更が可能です。
「ツール」メニュー
⇒オプション
　⇒LibreOffice
　　⇒配色の調整

編集画面の背景色は、この中の「アプリケーションの背景」で変更が可能です。
ただし、Witerだけでなく、全アプリケーションが対象になります。